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승률을 알면 얼마를 배팅해야 할까?

누구나 수학적 최적값을 고민해본 적이 있을 것이다.

승률이 100% 라면 당연히 내 전 재산을 배팅해야 한다.

하지만 승률이 70% 라면?... 높다고 해서 다 걸순 없다. 30%의 확률로 거지가 된다..

이것에 대한 해답이 켈리 기준식이다.

아래와 같은 상황이 있다.

배팅의 승률은 70%이다.

베팅금액에서 이기면 두 배를 따고(=원금+ 1배를 더 받음) 지면 전액 손실이다.

이 조건이 계속해서 반복된다고 할 때,

현재 재산의 몇 퍼센트를 걸어야 가장 오랫동안 살아남거나 또는 돈을 딸 수 있을까?

답은 40%이다.

물론 계속해서 재산을 40%를 건다고 해도 30%의 확률로 계속해서 패배한다면 당연히 돈은 잃게 된다.  

하지만 시도 횟수가 많아질수록 확률적인 법칙에 의하여 캘리 공식대로 배팅하면 가장 오랫동안 살아남거나 또는 돈을 딴다.

이겼을 때 두 배 졌을때 전액 손실인 경우, 캘리공식에 따르면

[자산 중 배팅해야 하는 비율 = 승률% - 패율%] 이다.

위와 같은 상황에서 위에 공식을 적용하면 답은 간단하다.

승률 70% - 패율 30% = 40%
매회 재산의 40%를 걸면 된다.

조금 더 복잡한 상황을 가정해 보자.

내 승률은 60%이고 이겼을 때는 1.5 배가 되고 졌을 때는 0배로 줄어든다.

이럴 때는 얼마를 걸어야 할까.

답은 0이다.

캘리 공식의 원본이 뭔지 봐보자.

f = P - Q/B

식은 매우 간단하게 생겼다.

f : 걸어야 할 재산(%)

P : 승률(%)
Q : 패율(%) (=1-P)

B : 이겼을 때 원금 제외 몇배를 따는지

위의 사례의 답을 구하면
f = 60 - (40/0.5)
f = - 20
캘리 공식은 음수가 나오면 돈을 벌면 안 된다는 뜻이다. 
따라서 위 베팅에는 돈을 걸면 안된다.


캘리 공식을 단점은 내 승률을 확실하게 알 수 없다는 것이다.
돈을 엄청 잃어가면서 내 승률을 대략적으로 알아낼 수 있겠지만, 그런 것은 의미가 없다.

두 번째 단점은 승률에 대한 배수는 고려 되지만 패배했을때 배수는 고려 되지 않는다는 것이다. 일상생활에서 주식 같은 것에 돈을 걸었을 때 돈을 전부 잃는 경우는 거의 없다. 하지만 켈리 공식은 패배했을 때는 항상 돈을 전부 잃는 것으로 설계되어 있다. 



마지막으로 어떤 복권이 하나 있다고 가정해 보자.

이 복권에 당첨 확률은 10%이다.

복권에 당첨되면 1000배를 따게 된다.

복권의 사례의 답을 구하면
f = 10 - (90/999)
f = 9.909909…...

재산의 9.91%를 걸어야 한다는 것을 알 수 있다.


하프 켈리베팅이라는 것도 있다 현실 세계의 모든 고려 요소는 절대 부정확하고 가장 안전하게 투자하기 위해서는 그나마 최적이라고 불리는 켈리배팅의 절반을 투자한다는 의미이다. 생각해 보면 아무리 많이 따도 중간에 한번 잃으면 그동안은 이득이 모두 날아가는 것처럼 가장 느리고 인내심 있는 방법이 답이 아닐까 싶다.